Угол поворота, угол произвольной величины. Конспект урока по геометрии "Движения. Параллельный перенос и поворот." (9 класс) Как выполнить поворот фигуры

В тригонометрии важным понятием является угол поворота . Ниже мы последовательно будем давать представление о повороте, и вводить все сопутствующие понятия. Начнем с общего представления о повороте, скажем о полном обороте. Далее перейдем к понятию угла поворота и рассмотрим его основные характеристики, такие как направление и величина поворота. Наконец, дадим определение поворота фигуры вокруг точки. Всю теорию по тексту будем снабжать поясняющими примерами и графическими иллюстрациями.

Навигация по странице.

Что называют поворотом точки вокруг точки?

Сразу отметим, что наряду с фразой «поворот вокруг точки» будем также использовать словосочетания «поворот около точки» и «поворот относительно точки», что обозначает одно и то же.

Введем понятие поворота точки вокруг точки .

Сначала дадим определение центра поворота.

Определение.

Точку, относительно которой осуществляется поворот, называют центром поворота .

Теперь скажем, что получается в результате поворота точки.

В результате поворота некоторой точки A относительно центра поворота O получается точка A 1 (которая в случае некоторого количества может совпадать с A ), причем точка A 1 лежит на окружности с центром в точке O радиуса OA . Иными словами, при повороте относительно точки O точка A переходит в точку A 1 , лежащую на окружности с центром в точке O радиуса OA .

Считают, что точка O при повороте вокруг самой себя переходит в саму себя. То есть, в результате поворота вокруг центра поворота O точка O переходит в саму себя.

Также стоит отметить, что поворот точки А вокруг точки O стоит рассматривать как перемещение в результате движения точки А по окружности с центром в точке O радиуса OA .

Для наглядности приведем иллюстрации поворота точки А вокруг точки O , на рисунках, расположенных ниже, перемещение точки А в точку А 1 покажем при помощи стрелки.

Полный оборот

Можно выполнить такой поворот точки A относительно центра поворота O , что точка А , пройдя все точки окружности, окажется на прежнем месте. При этом говорят, что точка А совершила вокруг точки O .

Дадим графическую иллюстрацию полного оборота.

Если же не останавливаться на одном обороте, а продолжать движение точки по окружности, то можно выполнить два, три и так далее полных оборотов. На чертеже ниже справа показано, как могут быть произведены два полных оборота, а слева - три оборота.

Понятие угла поворота

Из введенного в первом пункте понятия поворота точки понятно, что существует бесконечное множество вариантов поворота точки А вокруг точки O . Действительно, любую точку окружности с центром в точке O радиуса OA можно рассматривать как точку A 1 , полученную в результате поворота точки А . Поэтому, чтобы отличать один поворот от другого, вводится понятие угла поворота .

Одной из характеристик угла поворота является направление поворота . По направлению поворота судят о том, как осуществляется поворот точки – по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Другой характеристикой угла поворота является его величина . Углы поворота измеряются в тех же единицах, что и : наиболее распространены градусы и радианы. Здесь стоит заметить, что угол поворота может выражаться в градусах любым действительным числом из промежутка от минус бесконечности до плюс бесконечности, в отличие от угла в геометрии, величина которого в градусах положительна и не превосходит 180 .

Для обозначения углов поворота обычно используются строчные буквы греческого алфавита: и т.д. Для обозначения большого количества углов поворота часто применяют одну букву с нижними индексами, к примеру, .

Теперь поговорим о характеристиках угла поворота подробнее и по порядку.

Направление поворота

Пусть на окружности с центром в точке O отмечены точки A и A 1 . В точку А 1 можно попасть из точки A , выполнив поворот вокруг центра O либо по часовой стрелке, либо - против часовой стрелки. Эти повороты логично считать различными.

Проиллюстрируем повороты в положительном и отрицательном направлении. На чертеже ниже слева показан поворот в положительном направлении, а справа – в отрицательном.

Величина угла поворота, угол произвольной величины

Угол поворота точки, отличной от центра поворота, полностью определяется указанием его величины, с другой стороны, по величине угла поворота можно судить о том, как этот поворот был осуществлен.

Как мы уже упоминали выше, величина угла поворота в градусах выражается числом от −∞ до +∞ . При этом знак плюс соответствует повороту по часовой стрелке, а знак минус – повороту против часовой стрелки.

Теперь осталось установить соответствие между величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.

Начнем с угла поворота, равного нулю градусам. Этому углу поворота отвечает перемещение точки А в себя. Другими словами, при повороте на 0 градусов вокруг точки O точка А остается на месте.

Переходим к повороту точки А вокруг точки O , при котором поворот происходит в пределах половины оборота. Будем считать, что точка А переходит в точку А 1 . В этом случае абсолютная величина угла AOA 1 в градусах не превосходит 180 . Если поворот происходил в положительном направлении, то величина угла поворота считается равной величине угла AOA 1 , а если поворот происходил в отрицательном направлении, то его величина считается равной величине угла АОА 1 со знаком минус. Для примера приведем рисунок, показывающий углы поворота в 30 , 180 и −150 градусов.

Углы поворота большие 180 градусов и меньшие −180 градусов определяются на основе следующего достаточно очевидного свойства последовательных поворотов : несколько последовательных поворотов точки A вокруг центра O равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.

Приведем пример, иллюстрирующий данное свойство. Выполним поворот точки А относительно точки O на 45 градусов, а затем еще повернем эту точку на 60 градусов, после чего повернем эту точку на −35 градусов. Обозначим промежуточные точки при этих поворотах как A 1 , A 2 и A 3 . В эту же точку А 3 мы могли попасть, выполнив один поворот точки A на угол 45+60+(−35)=70 градусов.

Итак, углы поворота, большие 180 градусов, мы будем представлять как несколько последовательных поворотов на углы, сумма величин которых дает величину исходного угла поворота. Например, угол поворота 279 градусов соответствует последовательным поворотам на 180 и 99 градусов, или на 90 , 90 , 90 и 9 градусов, или на 180 , 180 и −81 градус, или на 279 последовательных поворотов по 1 градусу.

Аналогично определяются и углы поворота, меньшие −180 градусов. К примеру, угол поворота −520 градусов можно интерпретировать как последовательные повороты точки на −180 , −180 и −160 градусов.

Подведем итог . Мы определили угол поворота, величина которого в градусах выражается некоторым действительным числом из промежутка от −∞ до +∞ . В тригонометрии мы будем работать именно с углами поворота, хотя слово «поворот» часто опускают, и говорят просто «угол». Таким образом, в тригонометрии мы будем работать с углами произвольной величины, под которыми будем понимать углы поворота.

В заключение этого пункта отметим, что полный оборот в положительном направлении соответствует углу поворота в 360 градусов (или 2·π радианов), а в отрицательном – углу поворота в −360 градусов (или −2·π рад). При этом удобно большие углы поворота представлять как некоторое количество полных оборотов и еще один поворот на угол величиной от −180 до 180 градусов. Для примера возьмем угол поворота 1 340 градусов. Несложно 1 340 представить как 360·4+(−100) . То есть, исходному углу поворота отвечают 4 полных оборота в положительном направлении и последующий поворот на −100 градусов. Другой пример: угол поворота −745 градусов можно интерпретировать как два оборота против часовой стрелки и последующий поворот на −25 градусов, так как −745=(−360)·2+(−25) .

Поворот фигуры вокруг точки на угол

Понятие поворота точки легко расширяется на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (речь идет о таком повороте, что и точка, относительно которой осуществляется поворот, и фигура, которую поворачивают, лежат в одной плоскости).

Под поворотом фигуры будем понимать поворот всех точек фигуры вокруг заданной точки на данный угол.

В качестве примера приведем иллюстрацию следующему действию: выполним поворот отрезка AB на угол относительно точки O , это отрезок при повороте перейдет в отрезок A 1 B 1 .

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Поворот (вращение) - движение, при котором по крайней мере одна точка
плоскости (пространства) остаётся неподвижной.
В физике нередко поворотом называется неполное вращение, или, наоборот,
вращение рассматривается как частный вид поворота. Последнее определение
более строго, поскольку понятие поворот охватывает значительно более широкую
категорию движений, в том числе и такое, при котором траектория движущегося
тела в избранной системе отсчёта представляет собой незамкнутую кривую.

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол
называется
отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1 и угол МОМ1 равен
М1
М
O

110
100
120
60
70
100
80
40
30
140
30
150
160
20
170
170
10
180
50
110
130
40
160
М160
120
50
150
70
90
130
140
80
180
0
О
М
20
10
0

А1
В1
А
О
В

O

Поворот отрезка.
O
O

Центр поворота фигуры
может быть во внутренней
области фигуры и во
внешней…
O

При повороте
многоугольника надо
повернуть каждую
вершину.
O

10.

Параллельный перенос ― частный случай движения, при котором все
точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на
одно и то же расстояние. Иначе, если M ― первоначальное, а M" ―
смещенное положение точки, то вектор MM" ― один и тот же для всех
пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.
Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры или
пространства на одно и то же расстояние в одном и том же
направлении.

11.

a
Параллельным переносом на вектор
называется
отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М
отображается в такую точку М1, что вектор ММ1 равен вектору
М

Предварительный просмотр:

План-конспект урока

1. Ф.И.О. учителя: Антонова Лилия Александровна
2. Класс: 9 Дата: Предмет: геометрия
3. Тема урока: «Параллельный перенос и поворот».
4. Место и роль урока в изучаемой теме: Раздел «Движения», урок №49
5. Цель урока:

• Повторить понятие движения и его виды;
• развивать умения выполнять построения при повороте;
• прививать любовь к геометрии через картины художника Мориса Эшера

Задачи:

• научить строить виды движений (поворот).

Оборудование:

• мультимедийная установка, презентация;
• карточки для работы в классе и дома;
• анкеты для рефлексии;
• оформлена доска

Ход урока.

1. Организационный момент.

(Учащиеся рассаживаются на свои места).

2. Ввод темы и целей урока:

Учитель: - Сегодня на уроке мы вспомним виды движения. Вы научитесь строить фигуры с помощью поворота. И, я думаю, без труда сумеете определять этот вид движения на рисунках, в природе и т.д.

Но сначала повторим, какие виды движения мы уже изучили на предыдущих уроках. Посмотрите на слайд. Здесь изображены различные виды движения. Назовите известный вам вид движения и соотнесите к нему рисунок.

Ученики: (Ответы учащихся)

Осевая симметрия 2,4,6,7,9;

Центральная симметрия 1,3,10.

Параллельный перенос 5,8,11.

Поворот 8.

Учитель: - Если проанализировать виды отображений рисунков, то можно сделать вывод, что на них изображены известные нам движения. Как вы считаете, чему будет посвящен наш урок?

Итак, давайте определим цели урока. Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока.

3. Изучение нового материала.

Учитель: - Преобразование, при котором каждая точка фигуры поворачивается на один и тот же угол вокруг заданной точки, называется поворотом. (слайды)

Учитель: - Точное определение поворота есть в вашем учебнике на странице 301, и есть на слайде.

Сейчас вы в тетрадях построите поворот точки М на угол в 60 0 вокруг точки О. При построении вы можете опираться на слайд.

1. Отметим точки М и О.
2. Проведем луч ОМ.
3. Отложим с помощью транспортира угол в 60 0 .
4. На проведенном луче циркулем отложим отрезок, равный ОМ.
5. Поставим точку М 1 .

Учитель просматривает работы учащихся.

Учитель: - А теперь попытайтесь на листах, которые лежат у вас на партах произвести более сложное построение - поворот отрезка АВ на угол в 120 0 . Если вы испытываете затруднение, обратитесь к алгоритму на экране

(появляется алгоритм весь полностью).

Учитель: - Отлично, большинство из вас справились с этой задачей. А теперь посмотрите на слайд, где выполняется поворот многоугольника, и попробуйте определить на какой угол нужно повернуть многоугольник вокруг своего центра, чтобы его вершины совпали.

Ученики: Квадрат на 90 0 . Равносторонний треугольник на 120 0 . Правильный шестиугольник на 60 0 .

Учитель: - Давайте, выполним 2 задание на листах. Поверните предложенный вам треугольник на угол в 90 0 вокруг одной из его вершин и вокруг точки О в его внутренней области (два чертежа). Можно показать порядок выполнения на доске с чертежным угольником.

Учитель: - Давайте посмотрим на экран и доску и сравним эти отображения. Что общего вы заметили в них?

Ученики: (Ответы учеников)

Учитель: Правильно. Фигуры при преобразовании перешли в равные фигуры. Значит, поворот также как и параллельный перенос является движением.

Учитель: - А теперь я предлагаю вам посмотреть, на картины художника Мориса Эшера, (слайд №19, если есть время можно рассказать учащимся о творческом пути художника гиперссылка на слайде) который создавал свои работы, используя виды движений. Скажите, какие виды движений вы увидели на этих картинах?

Ученики: (Поворот. Параллельный перенос. Центральная симметрия.)

4. Итог урока.

Учитель подводит итоги урока, опираясь на цели.

Учитель:

1.Итак, с каким новым видом движения мы сегодня познакомились? (Поворот)

2.С помощью каких чертежных инструментом мы строили повороты фигур? (Транспортир, линейка, циркуль).

3. Как называется точка, вокруг которой производят поворот? (центр поворота).

Я думаю, что все вы научились определять этот вид движения и поэтому легко справитесь с домашним заданием. Всем ученикам выставляются оценки.

Ученики заполняют анкету по рефлексии.

5. Домашнее задание.

Учитель: Ребята, а теперь и мы с вами вдохновленные видами движений, картинами Эшера, подготовите сообщения на темы по выбору:
- симметрия в архитектуре;

Симметрия в природе;

Симметрия в искусстве.

А также определитесь с уровнем полученных знаний и выполните:

1 уровень - № 1166,1167

2 уровень - № 1166,1168

Приложение 1

Анкета

ФИО класс

Приложение 2

Фамилия, имя - , класс - .

№ 1. Построить поворот отрезка АВ на угол в 120 0 относительно точки О против часовой стрелки.

№2. а). Построить поворот на 90 0 треугольника вокруг его вершины. Слайд 2

Определите виды движения 1 2 3 4 5 7 6 8 9 10 11

Цели: повторить понятие движения и его виды; развивать умения выполнять построения при повороте; прививать любовь к геометрии через картины художника Мориса Эшера.

Вспомним: Движение. Виды движения. Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Виды движения: 1. Симметрия: ─ осевая, ─ центральная, 2. Параллельный перенос. 3. Поворот.

М Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1 , что вектор ММ 1 равен вектору a a a М 1

a В А С B 1 C 1 A 1

a Параллельный перенос

Что это за вид симметрии?

Осевая симметрия в природе

Что это за вид движения???

O Поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1 , что ОМ = ОМ 1 и угол МОМ 1 равен М М 1

Поворот отрезка. O

10 20 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 180 170 160 150 140 130 120 110 100 80 0 10 20 30 40 50 60 70 0 40 30 Угол поворота 60 0 М О М 1

10 20 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 180 170 160 150 140 130 120 110 100 80 0 10 20 30 40 50 60 70 0 40 30 10 20 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 180 170 160 150 140 130 120 110 100 80 0 10 20 30 40 50 60 70 0 40 30 О В А В 1 А 1 Угол поворота 120 0

Поворот отрезка. O O

O Центр поворота фигуры может быть во внутренней области фигуры и во внешней…

O При повороте многоугольника надо повернуть каждую вершину.

Картины Эшера Мауриц Корнелис Эшер - нидерландский художник-график (17 июня 1898 - 27 марта 1972, Нидерланды)

Параллельный перенос

Домашнее задание Выполнить 1 уровень - № 1166,1167 2 уровень - № 1166,1168 Подготовить сообщения по темам на выбор: 1. симметрия в природе 2. симметрия в архитектуре. 3. симметрия в искусстве.

Вращение - частный случай движения, при котором по крайней мере одна точка плоскости (пространства) остаётся неподвижной. При вращении плоскости неподвижная точка называется центром вращения, при вращении пространства неподвижная прямая называется осью вращения. Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства).

На плоскости в прямоугольных декартовых координатах собственное вращение выражается формулами

x" = x cos? - y sin?, y" = x sin? + y cos?,

где?- угол поворота, а центр вращения выбран в начале координат. При тех же условиях несобственное вращение плоскости выражается формулой

x" = xcos? + y sin?, y" = x sin?- y cos?.

Поворотом плоскости вокруг точки S на направленный угол ѓї называется такое отображение плоскости на себя, которое каждую точку М плоскости переводит в такую точку M`, что SM = SM` и направленный угол ЃЪMSM` равен ѓї.

Точка S называется центром поворота, а направленный угол ѓї - углом поворота. Напомним, что угол называется направленным, если указано, какая из его сторон считается первой, а какая - второй.

Для обозначения поворота будем использовать символ.

Прежде всего докажем, что поворот плоскости сохраняет расстояние между точками. Для этого на плоскости возьмем две различные точки M и N. Обозначим через M` и N` их образы при повороте вокруг точки S на направленный угол ѓї. Рассмотрим треугольники SMN и SM`N`. В этих треугольниках стороны SM и SM`, SN и SN`, соответственно, равны.

Нетрудно убедиться и в том, что углы MSN и M`SN` этих треугольников тоже равны. А это значит, что равны и сами треугольники MSN и M`SN`. Из равенства этих треугольников следует равенство отрезков MN и M`N`. Таким образом, поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол является движением.

На плоскости рассмотрим поворот с центром в точке S и углом ѓї. Зададим ПДСК так, чтобы ее началом служила точка S, а координатные векторы i, j были единичны и взаимно перпендикулярны. Произвольно на плоскости возьмем точку М (х, у) с координатами х и у относительно ПДСК Sху. Под действием поворота эта точка перейдет в некоторую точку M`(x`, y`). Выразим координаты точки M` через координаты ее прообраза, угол ѓї и координаты центра поворота. В треугольнике SM`Mx` длина катета SMx` равна |х`|, а длина катета М`Мх` равна |у`|, а в треугольнике SMMx - SMx = |x|, MMx = |y|. Обозначим через ѓА направленный угол, который образует луч SM с положительным направлением оси абсцисс (рис. 2.2). Тогда в ориентированном прямоугольном треугольнике Mx`SM` направленный угол ЃЪ Mx`SM` равен сумме направленных углов ѓї и ѓА, а длина гипотенузы SM` равна. С учетом этих соотношений получаем, что

Эти формулы являются формулами поворота плоскости вокруг начала координат на направленный угол ѓї. Используя эти формулы, можно показать, что поворот плоскости вокруг точки на заданный направленный угол обладает следующими свойствами.

Свойства поворота плоскости вокруг точки

1. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол прямая переходит в прямую, образующую с данной прямой направленный угол, равный углу поворота.

Доказательство. Пусть относительно системы координат Oxy прямая d определяется уравнением ax + by + c = 0, где. Зададим поворот плоскости вокруг точки О на направленный угол ѓї формулами (2.1.). Найдем уравнение образа прямой d при этом повороте. Для этого из формул (2.1.) выразим x и y через xЃЊ и yЃЊ получим формулы вида,

Чтобы получить уравнение образа прямой d в уравнении ax + by + c = 0 заменим х и у выражениями (xЃЊ cosѓї + yЃЊ sinѓї) и (? xЃЊ sinѓї + yЃЊcosѓї) . В результате получим уравнение вида. В левой части этого уравнения раскроем скобки и приведем его к виду

Поскольку

то уравнение (acosѓї ? bsinѓї)xЃЊ + (asinѓї + bcosѓї) yЃЊ + c = 0 определяет на плоскости прямую.

• 2. При повороте вокруг данной точки на заданный направленный угол параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
• 3. Поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол сохраняет простое отношение трех точек.

Доказательство. На плоскости зададим ПДСК Оху. Произвольно возьмем две точки и. Пусть точка M(x, y) делит отрезок М 1 М 2 в отношении ѓЙ Ѓ‚ ?1. Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки О на направленный угол ѓї формулами (2.1.). Обозначим через, и MЃЊ (xЃЊ, yЃЊ) образы точек, и M (x, y) при этом повороте. Покажем, что поворот сохраняет простое отношение трех точек, и M (x, y) . Поскольку для координат точек, и M (x, y) справедливы соотношения

то для доказательства того факта, что точка MЃЊ(xЃЊ, yЃЊ) делит отрезок в том же самом отношении ѓЙ Ѓ‚ ?1 достаточно показать, что

Для этого в формулах

заменим на, на, на, на, на, на. В результате получим соотношения

Умножим первое - на cos? , а второе - на? sin? и сложим. В результате получим равенство. Теперь умножим обе части первого соотношения на sin? , а второго - на cos? и сложим. Получим равенство.

Итак, мы показали, что точка M? (x?, y?) делит отрезок в том же самом отношении? ? ?1, что и точка делит отрезок M 1 M 2 . А это значит, что поворот плоскости вокруг точки на заданный угол сохраняет простое отношение трех точек.

• 4. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол отрезок переходит в равный ему отрезок, луч - в луч, полуплоскость - в полуплоскость.
• 5. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол ортонормированный репер R переходит в ортонормированный R`.

При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку М` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.

6. Композиция двух поворотов вокруг точки О есть поворот с центром в точке О.

7. Композиция двух поворотов плоскости есть поворот на направленный угол с центром в точке С такой, что, .

• 8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с непараллельными осями m1 и m2, пересекающимися в точке О и образующими направленный угол, есть поворот плоскости вокруг точки О.
• 9. Всякий поворот плоскости вокруг точки О можно представить в виде композиции двух осевых симметрий, осью одной из них будет служить прямая p, проходящая через центр О, а осью другой - прямая q, содержащая биссектрису угла, образованного образом m` луча m при повороте вокруг точки О на заданный угол и образом m`` луча m` при осевой симметрии с осью р.

При решении задач, связанных с нахождением образов и прообразов геометрических фигур, заданных своими аналитическими условиями относительно прямоугольной декартовой системы координат Oxy, при повороте плоскости вокруг точки на заданный направленный угол, целесообразно использовать формулы, задающие поворот с центром в произвольной точке S(х0, у0), отличной от начала координат. Для того, чтобы вывести эти формулы, воспользуемся тем, что поворот плоскости переводит ортонормированный репер R в ортонормированный репер R`, а всякую точку M с координатами (х, у) относительно репера R в точку M` с теми же самыми координатами, но относительно репера R`.

С другой стороны, точка M` относительно репера R` тоже имеет какие-то координаты. Обозначим их через x` и y`. Таким образом, на плоскости имеем две системы координат: одна из них определяется репером R, а другая - репером R`.

Первую из них назовем "старой", а вторую - "новой". В соответствии с этим "старыми" координатами точки M` будет являться упорядоченная пара чисел (x`, y`), а "новыми" координатами - упорядоченная пара чисел (х, у). Используя формулы, выражающие "старые" координаты точки через ее "новые" при переходе от одной системы координат к другой, получим формулы:

Поскольку точка является инвариантной точкой поворота, то ее координаты удовлетворяют следующим условиям:

Вычитая из обеих частей равенств (2.2.) соответствующие части соответствующих равенств (2.3.), получим формулы, которые выражают координаты образа M` точки M через координаты самой точки M:

Формулы (2.4) являются формулами поворота плоскости вокруг точки на заданный направленный угол.